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              de SYRACUSE 
 
 

 

S A Y R A C

Mode dictionnaire contextuel

CONJECTURE
Une conjecture, en mathématiques, est une assertion (une règle ou une affirmation) qui exprime une propriété qui se trouve toujours vérifiée (aucun contre-exemple ne vient l'infirmer), mais qui n'a jamais  (ou pas encore) été démontrée. C'est donc en quelque sorte une "règle" que l'on pense vraie parce qu'elle est, au moment où on l'énonce, toujours vérifiée, mais dont on ne sait pas donner la démonstration.

Une conjecture peut devenir une loi ou un théorème dès qu'elle est démontrée. Par exemple le célèbre "dernier théorème de Fermat", les guillemets rappelant le caractère conjectural de son énoncé, (il exprime que l'équation  xn  +  yn  =  zn  n'admet pas de solution en nombres entiers dès que l'exposant n est strictement supérieur à 2), qui est resté longtemps (355 ans entre son énoncé en 1640 et sa résolution en 1995) une conjecture (il n'y avait aucune trace de l'éventuelle démonstration de Fermat), a été parfaitement démontré par le mathématicien anglais  Andrew J. WILES    en 1995; il constitue maintenant un théorème à part entière avec une preuve acceptée par l'ensemble de la communauté scientifique: le théorème de Fermat-Wiles. En fait Andrew J.Wiles, aidé par Richard Taylor, a démontré une partie de la   conjecture de Shimura-Taniyama-Weil  ce qui suffit à impliquer le théorème de Fermat dans toute sa généralité.

Andrew J.Wiles a obtenu entre autres le Prix Fermat de Recherche en Mathématiques 1995 (Prix créé en 1987 par l'Université Paul Sabatier de Toulouse et Matra Marconi Space avec la collaboration du lycée Pïerre de Fermat de toulouse) et à cette occasion a eu lieu, en particulier, une journée dans la ville natale de Pierre de Fermat:  Beaumont de Lomagne  (Tarn et Garonne).

Une conjecture peut, au contraire, se révéler fausse dès qu'un chercheur trouve un contre exemple (ainsi la conjecture de R.Penrose en 1974 - tout pavage du plan peut se ramener à un pavage périodique- s'est révélée inexacte).

La célèbre  conjecture de RIEMANN   est non seulement à démontrer mais sa démonstration est dotée d'un prix de 1 000 000 $ offert par le Clay Mathematics Institute . ; elle est peut-être démontrée par Louis de Branges de Bourcia. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction Zeta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2.

La preuve de la  conjecture de POINCARE   est aussi dotée de la même manière par le même institut; elle serait peut-être démontrée par Grigori Perelman (la sphère - à 3 dimensions et non la sphère ordinaire de notre espace réel,  qui n'en a que deux - est le seul espace fermé tridimensionnel dépourvu de trou).

** Nouveauté **23/08/2006        Médaille FIELDS 2006 (l'équivalent du prix NOBEL pour les Mathématiques qui n'existe pas): quatre lauréats récompensés au 25° Congrès International des Mathématiques et en particulier le russe G. PERELMAN  pour son approfondissement révolutionnaire de la structure géométrique et analytique du flux de Ricci et sa résolution de la conjecture de Thurston qui entraîne en particulier la conjecture de Poincaré, un problème de topologie vieux de plus de 100 ans que la communauté des mathématiciens considère donc maintenant comme résolu. L'énoncé de la conjecture de Poincaré devient donc le théorème de Perelman.

La résolution par G. Perelman de la conjecture de Poincaré peut être retenue comme l' évènement mathématique de 2006.

La conjecture de E. CATALAN énoncée en 1844 a été démontrée en 2002 par P. Milhailescu (démonstration de la conjecture de Catalan ); elle exprime que l'équation diophantienne  ym - xn = 1 n'a qu'une solution pour m et n >1 et x et y >0 (deux nombres consécutifs ne sont jamais des puissances exactes sauf  8 et 9). La démonstration est basée sur le fait que s'il existait d'autres solutions que la paire d'exposants (2,  3) il s'agirait nécessairement de paires de Wieferich (on n'en connaît actuellement que 6 comme 2 et 1093 par exemple); il a fallu alors montrer que ceci conduirait à une contradiction. Si une autre équation diophantienne comme ym - xn = 0 a une infinité de solutions (2 4 - 4  2 ou 4 3 - 8 2 par exemple), pour le problème  ym - xn = 2 on ne connaît qu'une solution 3 3 - 5 2 = 2 qui  fait jouer un rôle très particulier au fameux nombre 26: le seul entier strictement encadré par un carré et un cube (voir la résolution de l'équation diophantienne y 3 - x 2 = 2).


Conjecture de SYRACUSE  

La conjecture de SYRACUSE affirme une propriété simple sur les entiers qui, depuis environ 75 ans n'a pu ni être démontrée ni être infirmée.

Il s'agit du calcul suivant: on choisit un entier positif quelconque non nul, s'il est PAIR on le divise par deux, sinon on le multiplie par trois et on ajoute un. On recommence le même calcul sur le nombre obtenu à la première opération et on poursuit une telle itération autant de fois que l'on veut.
La CONJECTURE de SYRACUSE affirme que l'on aboutit TOUJOURS, QUEL QUE SOIT le nombre entier de départ sur le CYCLE (4, 2, 1).

Le  simulateur de Syracuse  permet de visualiser (immédiatement sur le site sans rien télécharger) cette propriété pour un nombre initial quelconque que vous pouvez choisir. Vous pouvez aussi (toujours directement sur le site) simuler une itération de type Syracuse avec k=5 au lieu du facteur 3.

C'est dans les années 1930 qu'un chercheur de l'Université de Hambourg, Lothar Collatz, puis quelques années plus tard des chercheurs de l'Université de Syracuse (E.U.) ont proposé de caractériser les entiers par la propriété précédente (initialement on parlait de nombres syracusiens pour ceux qui permettaient d'aboutir à 1 par le processus itératif énoncé plus haut, et non syracusiens pour les autres, ... s'il en existait). Un peu tombé dans l’oubli, ce type de « classement » des entiers est redevenu d’actualité au moins depuis les années 1976-1977 ([1], [2], [3]).

Exprimée très vite sous la forme d'une conjecture et abordée par de nombreux chercheurs, cette propriété des entiers s'est aussi appelée algorithme de Collatz, problème de Kakutani, problème de Hasse, problème de Ulam,.. ou problème "3x+1", au fur et à mesure que divers auteurs cherchaient à la démontrer. Ces diverses tentatives ont en général été faites dans le cadre de la théorie des nombres, avec des démarches probabilistes ou encore avec des méthodes numériques. Quelques chercheurs ont aussi essayé de démontrer le caractère indécidable d'une telle propriété, mais là aussi, pour le moment, aucun résultat unanimement reconnu  n'a vu le jour et le futur éventuel "théorème de Syracuse" n'est pas encore démontré.

Quelques auteurs ont envisagé l'extension au problème "3x+t" ([10], [13]) ou encore "kx+1" ([6], [9]). On peut aussi considérer les systèmes dynamiques dans N associés au problème "kx+t"comme nous le proposons dans [14].

Voir [6] ou [11] pour une bibliographie plus complète sur le sujet.

** Nouveauté ** 23/05/2006: Deux québécois publient un article sur la conjecture de Syracuse utilisant les probabilités et la théorie des jeux 

Mais même les auteurs reconnaissent que «Comme il s’agit d’une approche probabiliste, nous ne pouvons affirmer qu’il s’agit d’une preuve absolument irréfutable de la véracité de la conjecture. Il reste une toute petite possibilité que certains nombres y résistent» ( Alain Slakmon dans Cybersciences - La science et la technologie pour tous) ....

Ce n'est donc pas encore (si le problème n'est pas indécidable) la démonstration tant attendue!!!

L'article  proposé par Alain Slakmon et Luc Macot dans On the Almost Sure Convergence of Syracuse Sequences à paraître dans Statistics and Probability Letters.

Quelques références concernant la conjecture de Syracuse

[1] Terras Riho, « A stopping time problem in the positive integers », Acta. Arith. 30, n° 3, 241-252 (1976).

[2] C.J. Everett, Adv.in Math. 25, n° 1, 42-45 (1977).

[3] R.E. Crandall, «On the 3x+1 problem», Math. Comp., 32, n° 144, 1281-1292 (1978).

[4] Terras Riho, «On the existence of a density», Acta. Arith. , 35, n° 1, 101-102 (1979).

[5] C.C. Cadogan, “A note on the 3x+1 problem», Caribbean J. Math., 3, n° 2, 67-72 (1984).

[6] J.C. Lagarias, «The 3x+1 problem and its generalizations », Amer. Math. Monthl., 3-23 (1985).

[7] J.M. Dolan, A.F. Gilman, S. Manickam, «A generalization of Everett’s result on Collatz 3x+1 problem», Adv. In Appl. Math., 8, n° 4, 405-408 (1987).

[8] I. Krazsikov, «How many numbers satisfy 3x+1 conjecture», Inrent. J. Math. Sci., 12, n° 4, 791-796 (1989).

[9] Zachary Franco, Carl Pomerance, «On a conjecture of Crandall concerning the qx+1 problem», Math. Comp. , 64, n) 211, 1333-1336 (1995).

[10] J.C. Lagarias, “The set of rational cycles for the 3x + 1 problem”, Acta. Arith. 56, 33-53 (1990).

[11] J.C. Lagarias, “The 3x+1 problem and its generalizations", Canad. Math. Soc., Conf. Proced., 20, 328-334 (1997).

[12] E.G. Belaga, M.Mignotte, “Embedding the 3x+1 conjecture in a 3x+d context”, Experiment. Math. 7, 145-151 (1998).

[13] E.G.Belaga, “Effective polynomial upper bounds to perigees and numbers of (3x+d)-cycles of a given oddlength”, Acta. Arith. 106.2, 197-206 (2003).  

[14] R.L.Clerc, “Itérations de Syracuse", communication privée, p.1 -15 (2003) (voir en html)

 

Il existe une autre conjecture sur les entiers qui s'exprime aussi simplement que la conjecture de Syracuse et qui est bien plus ancienne (elle résiste depuis plus de 260 ans !): la conjecture de Goldbach.

Conjecture de GOLDBACH

La  Conjecture_de_Goldbach  affirme  une propriété extrêmement simple sur les entiers qui, depuis 1742 (date à laquelle le mathématicien russe Christian Goldbach la formula) n'a pu ni être démontrée ni être infirmée. 

La conjecture de GOLDBACH exprime que tout nombre entier pair supérieur à deux peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers, un nombre premier pouvant être utilisé deux fois (comme dans 4=2+2 ou 6=3+3) et un nombre pair pouvant avoir plusieurs telles décompositions (par exemple 14=3+11=7+7 ou encore 228=47+181=17+211=89+139=...).

L'Université de Nice propose sur son site WIMS  un calcul en ligne de telles décompositions. 

Certaines conjectures se retrouvent parmi les problèmes de mathématiques non résolus, dont les plus célèbres sont  les 23 problèmes de Hilbert (1900) et  les 7 problèmes du millénaire (proposés en 2000 par le Clay Mathematics Institute).


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